主观题：在自然推理系统中构造自然语言描述的推理的证明(一阶逻辑)

在自然推理系统$$N_\mathscr{L}$$中构造自然语言描述的推理的证明。@[](5)
要求: 先将自然语言描述的命题符号化，然后再进行推理。在推理的过程中要写出每一步推理的依据。

(个体域为实数集合$$\mathbb{R}$$)
实数不是有理数就是无理数. 无理数都不是分数. 所以，若有分数，则必有有理数.





答案：命题符号化:
设: $x$是实数；$F(x): x$是有理数；$G(x): x$是无理数；$H(x): x$是分数.
前提:
$\qquad\forall x(F(x)\vee G(x))$，$\forall x(G(x)\rightarrow \neg H(x))$
结论：
$\qquad\forall x(H(x)\rightarrow F(x))$
证明：
$\qquad$① $\forall x(F(x)\vee G(x))\hspace{4em}$前提引入
$\qquad$② $F(a)\vee G(a)\hspace{6em}$①$\forall-$
$\qquad$③ $\neg G(a)\rightarrow F(a)\hspace{4.9em}$②置换
$\qquad$④ $\forall x(G(x)\rightarrow \neg H(x))\hspace{2.8em}$前提引入
$\qquad$⑤ $G(a)\rightarrow \neg H(a)\hspace{4.8em}$④$\forall-$
$\qquad$⑥ $H(a)\rightarrow \neg G(a)\hspace{4.8em}$⑤置换
$\qquad$⑦ $H(a)\rightarrow F(a)\hspace{5.5em}$⑥③假言三段论
$\qquad$⑧ $\forall x(H(x)\rightarrow F(x))\hspace{3.5em}$⑦$\forall+$