主观题：二部图
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答案：1、设$K_n$的顶点集为$V$，对$n$为奇数和偶数两种情况进行讨论。
（1）$n$为奇数时，$n=2k+1$，将$V$分成两个互补的顶点子集$V_1$与$V_2$，$V_1\cap V_2=\varnothing,~V_1\cup V_2=V$，且$|V_1|=k=\frac{n-1}{2}=r,~|V_2|=k+1=\frac{n+1}{2}=s$，在$K_n$中将两个端点都在$V_1$或都在$V_2$中的边删除，所得子图$K_{r,s}$为所求边数最多的$K_n$的生成子图。所得边数为$rs=\frac{n^2-1}{4}$。$n=5$时所得要求子图为$K_{2,3}$.
（2）$n$为偶数，即$n=2k$，在$K_n$中将两个端点都在$V_1$或都在$V_2$中的边删除所得子图$K_{r,s}$为所求边数最多的$K_n$的生成子图,即完全图二部图，$K_{r,s}$，其中$r=s=\frac{n}{2}$。 $n=6$时所得要求子图为$K_{3,3}$.
2、在同一顶点子集的所有的顶点之间加上边，即可生成$K_n$，下边两个图由$k_{2,3}$与$K_{3,3}$分别生成$K_5$与$K_6$的示例,其中虚线是要加的边。
答案：1、设$K_n$的顶点集为$V$，对$n$为奇数和偶数两种情况进行讨论。
（1）$n$为奇数时，$n=2k+1$，将$V$分成两个互补的顶点子集$V_1$与$V_2$，$V_1\cap V_2=\varnothing,~V_1\cup V_2=V$，且$|V_1|=k=\frac{n-1}{2}=r,~|V_2|=k+1=\frac{n+1}{2}=s$，在$K_n$中将两个端点都在$V_1$或都在$V_2$中的边删除，所得子图$K_{r,s}$为所求边数最多的$K_n$的生成子图。所得边数为$rs=\frac{n^2-1}{4}$。$n=5$时所得要求子图为$K_{2,3}$.
（2）$n$为偶数，即$n=2k$，在$K_n$中将两个端点都在$V_1$或都在$V_2$中的边删除所得子图$K_{r,s}$为所求边数最多的$K_n$的生成子图,即完全图二部图，$K_{r,s}$，其中$r=s=\frac{n}{2}$。 $n=6$时所得要求子图为$K_{3,3}$.
2、在同一顶点子集的所有的顶点之间加上边，即可生成$K_n$，下边两个图由$k_{2,3}$与$K_{3,3}$分别生成$K_5$与$K_6$的示例,其中虚线是要加的边。
